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2019.교육정책현장연구회연구보고서
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3) 수학토론 동아리활동 실제 및 결과물
반대팀: 뫼비우스 ‘컴퓨터가 한 수학적 증명도 증명이다’
가) 토론 내용 (생각 질문 쓰기 활동)
학생4: 저는 컴퓨터가 한 수학적 증명도 증명이라고 생각합니다. 특히 저희가 아는
「뉴욕타임스 수학」과 「수학을 낳은 위대한 질문들」 도서를 읽고 질문을
수학 과목 중에 확률과 통계 부분에서 더욱 그러하다고 생각하는데요, 한가지 예시를
통해 제 주장에 대한 근거를 말해보고자 합니다.
만들어 그 질문에 답을 쓴 후 다른 친구들의 생각을 읽고 피드백 활동을 하였고
1852년 영국의 아마추어 수학자 프랜시스 구트리가 영국 지도를 색칠하던 중 발견한
학생들은 다음과 같은 질문들을 도출하였다.
‘4색 정리’가 대표적인 컴퓨터를 이용한 수학적 증명입니다. ‘4색 정리’를 증명한 볼프강
수학은 왜 존재할까? /수학은 발견인가, 발명인가? /컴퓨터를 이용한 증명을 정말 수학적인
하켄과 케니스 아펠은 1482개의 경우의 수를 컴퓨터를 이용하여 검증함으로써 ‘4색
증명이라고 볼 수 있는가? /우리나라에서 수학과는 왜 인기가 없는가? /우리는 수학을
정리’를 증명하였습니다. 이렇듯 많은 경우의 수가 존재하여 그 경우의 수를 일일이
제대로 배우고 있는 것일까? /수학은 진리와 아름다움으로 충분하지 않은가? /수학적
해보는 과정을 통해서만 수학적 증명을 할 수 있다면 사람이 하는 것보다 컴퓨터가
진실은 진실인가? /우리나라에서 수학과는 왜 인기가 없는가?
하는 것이 더 효율적이고 어쩌면 불가능한 것도 할 수 있는 것이죠. 물론 컴퓨터가
1482개의 경우의 수를 생각해낸 것은 아닙니다.
나) 수학디베이트 (칼 포퍼 모형을 변형한 실제 토론 내용)
이하 생략...
논제 : 컴퓨터가 하는 증명은 수학적 증명이 아니다.
학생5: 저는 컴퓨터가한 수학적 증명은 증명이라고 생각합니다. 수학에서 증명은 명제를
찬성팀 : 컴퓨터를 이용한 증명은 수학적인 증명이라고 할 수 없다.
가정하고, 그 가정 하에 공리들로서 명제가 참이라는 것을 보여주는 것을 말합니다.
학생1: 저는 컴퓨터를 이용한 증명은 수학적인 증명이라고 할 수 없다고 생각합니다.
사람이 수학적 증명을 하는데 있어서 척 보아서 바로 이해할 수 있을 만큼 짧은 증명도
먼저 이는 수학이 처음 생겨났을 때부터 증명이 어떤 식으로 이루어졌는지를 살펴봄
있지만 그렇지 않고 상당히 긴 증명도 있습니다. 어렵고 긴 명제들을 증명한 사례들은
으로써 확인할 수 있습니다. 수학에서 증명을 할 때에는 특정한 공리를 가정하고,
충분히 있지만 그 증명들을 해내는 데에는 많은 시간이 필요합니다. 그리고 아무리
그 가정 하에서 어떤 명제가 참임을 보입니다. 증명의 방법에는 여러 종류가 있지만,
시간이 들여도 증명하기 힘든 명제들도 상당히 존재하고요. 하지만 컴퓨터는 사람이
일련의 논리를 전개하고 그 논리가 필연적이며 따라서 일단 어느 명제가 증명되고 나면
하기 힘든, 평생을 걸어도 하지 못할 명제들을 참, 거짓을 판별 해줍니다. 그 근거로서는
다른 사람이 그 논리를 따라가며 다시 증명해보일 수 있다는 점에서 공통될 것입니다.
1611년 독일 천문학자이자 수학자 케플러는 “상자 안에 가장 효율적으로 (오렌지 같은)
하지만 컴퓨터를 이용한 증명은 - 예를 들어 4색 정리에 대한 증명은 ? 그저 컴퓨터에게
구체를 쌓는 방법은 과일가게가 가게 앞에 오렌지를 쌓는 것과 같은 방법”이라는 추측을
엄청난 양의 계산을 맡기는 것에 불과합니다. 모든 가능한 경우의 수를 정리하여 컴퓨터
했습니다. 얼핏 쉬워 보이는 이 명제를 증명하는 데 걸린 시간은 무려 400년입니다.
프로그램에 넣으면 컴퓨터가 빠른 속도로 계산하여 맞는지 아닌지를 확인하는 방식인
케플러의 추정을 증명한 건 미국 피츠버그대학 토마스 헤일스 박사입니다. 그가 케플러의
것입니다. 이러한 증명은 일단 우리에게 왜 그 명제가 참인지, 왜 참일 수밖에 없는지를
설명해주지 못합니다. 그리고 증명 과정에서 심오한 수학적 진리도 드러나지 않고 그저
추정을 증명한 건 지난 1998년으로 “구체를 쌓아 올리는 방법은 무궁무진 하지만
기계적인 계산의 반복일 뿐입니다. 그래서 이러한 증명은 수학적 발전에 거의 도움을
대부분은 수천 가지의 방법에서 변형한 것이다.”라고 했습니다. 그는 구체를 쌓는 방법을
주지 못한다고 해도 될 것입니다. 하지만 근본적으로 가장 문제가 되는 것은 그 증명이
수학적으로 표현할 수 있는 수천 가지로 분류한 다음 소프트웨어를 이용해 조사했습니다.
옳은지조차 인간이 확인하는 것이 거의 불가능하기 때문입니다. 컴퓨터가 처리한 계산의 양이
증명은 300페이지에 달하는 방대한 양이어서 비평가 12명이 매달려 4년에 걸쳐 확인
너무 많아 계산에 오류가 있는지 없는지 확인하는 것도 힘들뿐더러 검증을 위한 프로그램과
했고 지난 2005년 수학연보(Annals of Mathematics)에 99% 확률로 올바른 것으로
그 프로그램을 실행하는 CPU에 버그가 들어있을 수도 있기 때문에 잘못된 결론이 나올
발표되었습니다. 그래서 저는 컴퓨터의 수학적 증명은 증명이라고 생각합니다. 만약
가능성도 있다는 것입니다. 따라서 저는 이러한 이유를 들어 논제에 대해 찬성합니다.
컴퓨터의 수학적 증명이, 증명이 아니라고 한다면, 사람이 증명하지 못하는 명제는
학생2: 저는 컴퓨터가 한 증명은 증명이 아니라고 생각합니다. 그 이유로는 현재 수 많은
그냥 증명하지 못한 명제로서 남겨두어야 하는 것 인가입니다. 컴퓨터와 원리가 비슷한
증명이 현재 컴퓨터로 이뤄지고 있는 상황입니다. 수학자 로널드 그레이엄은 인공지능
계산기를 예로 들자면 계산기는 사람이 계산하는데 오래 걸리는 연산을 빠르게 계산해
컴퓨터에게 “리만의 가설이 맞는지 물어봤었는데 컴퓨터의 대답은 리만의 가설이
줍니다.
맞다 하였습니다. 그래서 로널드 그레이엄은 과정에 대해 물어봤는데 컴퓨터가 설명
이하 생략...
한다고 하여도 이해하지 못할 것이라고 대답했다고 합니다. 이처럼 컴퓨터가 한 증명은
학생6: 컴퓨터가 한 증명은 수학적 증명인가? 저는 개인적으로 이런 문제는 받아들
과정보단 결과를 중요시하게 됩니다. 하지만 과정도 정말 중요합니다. 생각해보십시오.
이는 차이에 대한 문제인 것 같은데, 확실히 우리가 생각하는 수학적 증명은 막 수학적
수학에 대한 다양한 질문 그것을 해결하는 과정을 통해 ...
이하 생략....
수식을 많이 사용하여 오랜 시간이 흘러가며 계산을 하다가 유레카하고 엄청난 양의
학생3: 2002년 수능 비문학 내용을 보시면 한 수학자는 "컴퓨터를 통해 얻은 결과를
문서를 보여주는 것이 진정한 아름다운 수학적 증명 ....
불가피하게 이용하는 이런 과정은 사람의 손으로 직접 점검해 볼 수 없다는 점에서
이하 생략...
수학적 증명으로 간주할 수 없다"라고 주장했는데 .....
이하 생략...
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